2ª Fase - Nível 2 - 2011
- 1. OIM 2011 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011 201 2ª Fase - ível 2 (destinado aos 8os e 9os anos do Ensino Fundamental) Primeiro Dia Problema 1 Mostre que existe um número ݇ cujo quadrado pode ser expresso como uma soma dos quadrados de 11 a números inteiros consecutivos positivos. Problema 2 Marcos inventou uma operação entre números reais. Ela é definida como: ܽ £ ܾ ൌ ሺܾܽ ܾሻሺܽ ܾ െ 2ሻ Por exemplo, 2 £ 3 ൌ ሺ2 · 3 3 3ሻሺ2 3 െ 2ሻ ൌ ሺ6 3ሻሺ5 െ 2ሻ ൌ 9 · 3 ൌ 27. a) Calcule o valor de ሺ2011 £ 2012 െ ሺ2012 £ 2011ሻ. 2012ሻ b) Qual é o valor de x em 3 £ ݔൌ ?3 £ ²ݔ c) Prove que 3 é o único número primo que pode ser escrito na forma ܽ £ ܾ, com ܽ e ܾ inteiros e não- nulos. Problema 3 a) Determine a soma dos algarismos do resultado da divisão do número 8 88K8 8 por 37. 13 2 2011dígitos 8 b) Prove que todo número na forma rove nnnKnn , com ݊ 0 ؠሺ݉3 ݀ሻ, é divisível por 37. 1 3 2 , n dígitos n
- 2. OIM 2011 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011 201 2ª Fase - ível 2 (destinado aos 8os e 9os anos do Ensino Fundamental) Segundo Dia Problema 4 Considere o hexágono regular ABCDEF Seja M o ponto médio do segmento ABCDEF. CD , C o ponto central do hexágono e CM o apótema desse hexágono. Os prolongamentos dos lados BC e DE intersectam o prolongamento do apótema CM no ponto P. O prolongamento do lado AF intersecta o prolongamento dos lados BC e DE nos pontos N e Q, respectivamente. Prove que o triângulo NPQ tem dois ângulos medindo 60°. Problema 5 Vamos considerar que, se a n-ésima OIM é realizada em um ano que é divisível por n, dizemos que esse ésima n ano é hiper-olímpico. Por exemplo o ano 2011, em que está sendo realizada a 1a OIM, é hiper-olímpico, . exemplo, hiper pois 2011é divisível por 1. Determine todos os anos hiper-olímpicos, supondo que a OIM continuará . olímpicos, sendo realizada todo ano sem interrupção. Problema 6 Sejam ܽ, ܾ, ܿ, ݀ e ݁ números reais tais que ܽ, ܾ, ܿ, ݀, ݁ 0. Prove que ܾܽܿ݀݁ ఱ √ܾܽܿ݀݁ 5