Diffie-Hellman Key Exchange

Diffie-Hellman Key Exchange
GÜRKAN YILDIRIM
927219086
Ders: Kriptoloji ve Güvenlik Protokolleri
Eğitmen: Öğr. Gör. Mehmet Fatih ZEYVELİ

İnsanlığa ilk duyurulan açık anahtar algoritması,
Diffie ve Hellman`ın açık anahtarlı kriptografi
olarak tanımladıkları 1976 yılında yayımlanmış
"New Directions in Cryptography" isimli
makalelerinde yer aldı ve bu algoritma kriptografik
sisteme örnek olarak Diffie-Hellman Key Exchange
idi. Bir çok ticari uygulama bu anahtar değişimini
kullandı. Algoritmanın amacı, iki kullanıcının bir
anahtarı güvenli şekilde birbirlerine iletmeleri ve
daha sonrasında da bu anahtar yardımı ile şifreli
mesajları birbirlerine gönderebilmelerini
sağlamaktı. Algoritma anahtar değişimi ile
sınırlıdır.
GÜRKAN YILDIRIM
927219086
Giriş

Anahtar değiş-tokuşu için yaygın olarak kullanılan bir
protokoldür. Pek çok kriptografik protokolde iki taraf
aralarında bir iletişim başlatmak isterler. Başlangıçta
aralarında herhangi bir ortak gizliliğe sahip olmayan
taraflar gizli anahtar kriptosistemlerini kullanabilirler. Bu
durum için, Diffie-Hellman protokolü tarafından
sağlanan anahtar değiş-tokuşu, güvenli olmayan kanallar
üzerinden ortak bir gizli anahtar iletiminin sağlanmasına
bir çare bulmuştur. Diffie-Hellman problemi olarak
adlandırılan bu yöntem, kesikli logaritmalarla ilgili bir
problem üzerine kurulmuştur. Bu problemin çok zor
olduğu ve bazı durumlarda kesikli logaritma problem
kadar zor olduğu düşünülmektedir.
GÜRKAN YILDIRIM
927219086

Diffie-Hellman protokolünün, uygun bir
matematiksel grup kullanıldığında genelde güvenli
olduğu düşünülmektedir. Özel olarak, üslü ifadelerde
kullanılan üretici eleman geniş bir peryoda (sıraya)
sahip olmalıdır. Kesikli logaritma algoritmaları Diffie-
Hellman'a saldırmak için kullanılabilir ve -
parametrelerin doğru olarak seçildiğini kabul
edersek- şu anda yapılabileceklerin en iyisi pasif
saldırılardır. Eğer alışıldık bir aritmetik modülo asıl
sayı kullanılarak Diffie-Hellman uygulanılırsa,
yeterince geniş bir asal seçmek ve üretici elemanın
seçiminde özen göstermek yeterli olacaktır. Güç
algılanan problemler, üretecin kötü seçimlerinden
kaynaklanıyor olabilir.

Diffie-Hellman algoritmasının LAN (yerel network)
kullanıcıları arasında kullanımı için bir diğer
örnekte şu şekilde verilebilir: Diyelim ki bu ağ
altında çalışan her kullanıcı dayanıklı ve uzun birer
ve buna bağlı genel bir hesaplamış olsunlar.
Kişilerin açık anahtarları ve herkezce bilinen ve
değerleri herkezin erişebileceği merkezi bir
rehberde tutulduğu taktirde, herhangi bir anda bir
kullanıcısı mesajlaşmak istediği bir kullanıcısının
açık değerine ulaşabilecek ve onun için şifrelediği
mesajı kendisine gönderebilecektir. Eğer merkezi
rehber güvenilir ise, bu iletişim gizliliği ve kimlik
denetimini sağlamış olacaktır. Tüm bunlara rağmen
bu teknik, aktif tekrarlama gibi ataklara karşı
korumasız kalmaktadır.

GÜRKAN YILDIRIM
927219086
Diffie -Hellman ortak gizli anahtar oluşturma sistemi
ayrık logaritma -Hellman algoritması: problemini
üzerine kurulmuş ve güvenirliği çok büyük asal sayıları
seçmeye dayanmaktadır.[2],[3],[5] p yeteri kadar büyük
bir asal sayı olsun öyle ki Zp de ayrık logaritma
problemini çözmek mümkün olmasın. g'de Zp de
primitif bir kök (primitive root) olsun. p ve g herkes
tarafından bilinsin. A ve B kişileri aşağıdaki yolu
izleyerek ortak bir anahtar oluşturabilirler: A, 0 ≤ a ≤ p-
2 eşitsizliğini sağlayan ve tesadüfi olan bir a sayısı seçer.
c = ga (mod p)'yı hesaplar ve bunu B'ye gönderir. B, 0 ≤
b ≤ p-2 eşitsizliğini sağlayan ve tesadüfi olan bir b sayısı
seçer. d = gb (mod p)'yı hesaplar ve bunu A'ya gönderir.
A, ortak anahtar k' yı şu şekilde hesaplar: k = da = (gb )
a B, ortak anahtar k' yı şu şekilde hesaplar: k = cb = (ga )
b Böylelikle A ve B aralarında ortak bir anahtar olan k
için anlaşmış olurlar.

Sayısal bir örnek:
Ortak anahtarı oluşturmak için öncelikle p sayısını p=541 ve g sayısını g=2 seçelim. A kişisi
kendi gizli anahtarı olan a sayısını, a =137 ve B kişisi kendi gizli anahtarı olan b sayısını, b = 193
olarak belirlesin.
c = ga (mod p) → 208 = 2 137 (mod 541)
d = gb (mod p) → 195 = 2 193 (mod 541)
c ve d değerleri hesaplandıktan sonra a ve b kişileri bu değerleri birbirine göndeririler ve ortak
olan k anahtarı sayısal olarak şu şekilde hesaplanır;
k = cb = (ga ) b (mod p)
→ (2 137) 193 (mod 541)
→ (208) 193 (mod 541)
→ 486 (mod 541)
GÜRKAN YILDIRIM
927219086

Anahtarın Simetrik
Şifreleme Algoritmasında
Kullanımı
Bu bölümde Diffie-
Hellman ortak gizli anahtarı
oluşturduktan sonra bu gizli
anahtarı simetrik şifreleme
algoritmasında şifreleme ve
deşifreleme işlemlerin de
nasıl kullanıldığını gösteren
bir akış diyagramı
verilmiştir.
GÜRKAN YILDIRIM
927219086

KRIPTOANALIZ
Bugün, genel anahtar (veya asimetrik) şifreleme sistemleri temel olarak güvenli
olmayan kanallarda gizli anahtarlar oluşturmak ve dağıtmak için kullanılmaktadır [1].
Bu gizli anahtarlar daha sonra simetrik bir kriptografik protokol aracılığıyla şifreleme
için kullanılır.
Daha fazla taraf gerçek verileri sağlayabilir ve iki veya iki kişi arasındaki iletişimi
sağlayabilir. Genel anahtar şifreleme sisteminin doğal hızı, simetrik şifreleme
sistemindekinden daha yavaş olduğundan, tipik durumlarda, açık anahtar şifreleme
sistemi, gerçek verilerin dağıtılması için tercih edilen yöntemdir.
Öte yandan, gizli bir anahtarın dağıtılması gerektiğinde, bir açık anahtar
şifreleme sistemi çekici bir çözümdür. Bu, gizli veya gizli varlıklara güvenmemelerini
sağlayan güvenli bir iletişim kanalıdır.
KRIPTOANALIZ

Diffie-Hellman (DH) anahtar anlaşması protokolü, günümüzde yaygın
olarak kullanılan ilk açık anahtar şifreleme sistemidir. Mucitleri Whitfield Diffie
ve Martin Hellman, açık anahtar şifreleme ve dijital imzalar [2] üzerine Turing
Ödülü`nü tanıtan çığır açan makaleleri nedeniyle 2015 ACM Ödülünü kazandı.
DH protokolü, gizli bir anahtarda bir dizi mesajı değiş tokuş ederek birlikte
güvenli olmayan bir kanal oluşturur (iletişim kuran iki tarafın birbiri hakkında
önceden bilgisi yoktur).
Bu özellik sayesinde birçok popüler internet protokolü (DH yöntemi gibi)
tarafından benimsenmiştir. İnternet Protokolü Güvenliği (IPsec), Aktarım
Katmanı Güvenliği (TLS) ve Güvenli Kabuk (SSH), şifreleme anahtarları.
KRIPTOANALIZ

DH protokolündeki açık anahtar üretimi, ayrık logaritmanın zorluğunu (saldırgan
tarafından) hesaplar. DH protokolünün klasik sınırlamalarından biri, form kimlik
doğrulaması sağlamamasıdır.
Bu nedenle, iletişim kuran tarafın kimliği, DH protokolü ve uygun kimlik doğrulama
protokolü entegre edilebilir. Bu amaçla, kullanıcı kimlik doğrulamasını sağlamak için DH
protokolünün Dijital İmza Algoritması (DSA) ile entegre olmayı düşünüyoruz. İkincisi,
1991 yılında Ulusal Standartlar ve Teknoloji Enstitüsü (NIST) tarafından önerildi ve
Dijital İmza Standardının (DSS) bir parçasıdır.
DSA imza mesajı açıkça gönderilir. Beklenmedik veri şifrelemesi sağlayın. Entegre
DH-DSA protokolü ilk olarak tanıtıldı ve hem güvenli hem de kimliği doğrulanmıştır.
Kimlik doğrulamaya ulaşmak için bu yöntem, içinde alınıp verilen mesajların
değiştirilmesini önerir. DH anahtarlı DSA. O zamandan beri, protokolün birçok zayıflığı
[4], [5] ve çeşitli değişiklikler [6] - [9] önerildi.
KRIPTOANALIZ

Güvenlik Özellikleri
Bu bölümde, güvenli iletişim protokolünün üç önemli işlevini kısaca tanıtıyor ve açıklıyoruz.
İletme gizliliği (veya mükemmel iletme gizliliği), (belirli) bir anahtar anlaşması protokolünün
uzun vadeli şifreleme anahtarlarını tehlikeye atma işlevidir ve bu anahtarlar geçmiş oturum
anahtarlarını yok etmez. Başka bir deyişle, ileri gizlilik işlevi kullanıcının oturum anahtarını yok
etmeyecektir, örneğin, sunucunun özel anahtarı yok edilecektir. Ayrıca, oturumdan veya
paroladan sonra gelecekteki özel anahtar tehlikesini de önler.
Bilinen anahtar güvenliği, diğer oturum anahtarlarına zarar vermek için oturum
anahtarlarının tehlikeye atılmadığı (belirli) anahtar sözleşme anlaşmalarının bir işlevidir. Bu
nedenle, iletişim kuran iki tarafın, her yönde birer tane olmak üzere iki oturum anahtarı
oluşturduğunu varsayın. Düşman konuşmayı yakalasa bile, bir yöndeki anahtarın ters yönde
oturum anahtarını hesaplaması yine de zor olacaktır. Tekrar saldırı direnci, (belirli) güvenliğin bir
işlevidir. Tekrarlanan saldırılara direnmek için iletişim protokolünde geçerli bir mesaj yakalandı
ve ardından mesaj kötü niyetle tekrarlandı. Tekrar saldırılarını önlemek için, bu mekanizmayı
doğrulamak için iletişim kuran tarafların bazı mekanizmaları bulunmaktadır.
KRIPTOANALIZ

Step Alice 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 Bob 𝑥𝐵, 𝑦𝐵
1 Generater Random 𝑣 ∈ 𝑍𝑞
mA=gv
mod p
𝑟A = mA mod q
𝑠A = 𝑣−1
[𝐻 (mA) + 𝑥𝐴𝑟𝐴 ] mod q
mA, 𝑠A
2 Generater Random w∈ 𝑍𝑞
m𝐵=g𝑤
mod p
𝑟𝐵 = m𝐵 mod q
𝑠𝐵 = 𝑤−1
[𝐻 (m𝐵) + 𝑥𝐵𝑟𝐵 ] mod q
m𝐵, 𝑠𝐵
3 Verify Signature (𝑟𝐵, 𝑚𝐵) of message m𝐵
Compute 𝐾 = 𝑚𝐵
𝑣
𝑚𝑜𝑑 𝑝
Verify Signature (𝑟𝐴, 𝑚𝐴) of message m𝐴
Compute 𝐾 = 𝑚𝐴
𝑤
𝑚𝑜𝑑 𝑝
KRIPTOANALIZ
Arazi`nin Protokolü

DH protokolünü entegre etmeye yönelik en eski girişimlerden biri DSA, Land [3] idi. Hedef, paylaşılan bir oturum
anahtarı olan Alice ve Bob iletişim kuran iki taraftır. Bu bölümde, esasen Land`in anlaşmasıydı. Sonra zayıf yönlerini
tartışıyoruz. Özellikle, protokolün bilinen anahtar güvenliği sağlamadığını ve tekrar saldırılara açık olduğunu gösterir.
Temel protokol adımları Şekil 1`de gösterilmektedir.
Başlangıçta, Alice ve Bob protokolü L, p, q ve g parametrelerini seçtiler. Bu parametrelerin (düşmandan) gizli
tutulmasına gerek yoktur. Daha sonra Alice ve Bob, uzun vadeli anahtarlar adı verilen kendi genel ve özel şifreleme
anahtarlarını oluşturdu. Aşağıda açıklandığı gibi protokol parametreleri ve uzun vadeli anahtarlar oluşturun.
i) Alice ve Bob seçer
 64 ve 512 ≤ L ≤ 1024`ün katı olan bir L sayısı
 büyük bir p, 2 L − 1 <p <2 L
 p − 1 ve q`nin bölen üssü 2159 <q <2160
 g Zp`de q çarpım sırasına sahip bir eleman (yani, g = h (p − 1) / q mod p> 1 bazı rasgele tamsayı h için 1 <h <p - 1) ile,
burada Zp = {0, 1,. . . , p - 1}.
(ii) Alice üretir
 rastgele bir 0 olan özel anahtarı xA < xA <q
 açık anahtarı yA = gxA mod s.
(iii) Bob üretir
 xB rastgele bir sayı olan özel anahtarı 0 < xB <q
 açık anahtarı yB = g xB mod p
KRIPTOANALIZ

Mesaj alışverişi
Protokol parametrelerini ve uzun vadeli anahtarı oluşturduktan sonra, Alice ve Bob, mA ve mB
mesajlarıyla birlikte kendi doğru oluşturulmuş imzaları olan sA ve sB`ye sahip olurlar. Aşağıda, olay ve imza
mesajı oluşturmak için gereken sırayı açıklıyoruz.
(iv) Alice
 rastgele bir sayı üretir v ∈ Zq
 mA = gv mod p
 rA = mA mod q hesaplar
 mA mesajı için sA imzasını şu şekilde hesaplar: sA = v −1 [H (mA) + xArA] mod q, burada v −1 v mod q`nun çarpımsal
tersidir (yani, v −1v mod q = 1) ve H, mesaj m`de güvenli bir hash işlevidir. 160 bitlik bir hash değeri üretir, H (m)
 Bob`a (mA, sA) gönderir.
(v) Bob
 rastgele bir sayı üretir w ∈ Zq
 mB = gw w mod p
 rB = mB mod q
 sB = w−1 [H (mB) + xBrB] mod q
 Alice`e (mB, sB) gönderir
KRIPTOANALIZ
Mesaj alışverişi

Mesaj doğrulama ve anahtar türetme
Yukarıdaki mesaj alındığında, her iki taraf bağımsız olarak paylaşılan bir oturum anahtarı K alabilir. Değiş tokuş
edilen düşmanların mesajlarını gözlemlemek K anahtarını belirleyemez, çünkü ayrık logaritma varsayımı problemini
çözmek zordur (Varsayım 1) [12].
(vi) Alice
 Bob`dan alır (mB, sB)
 rB = mB mod q hesaplar
 mB mesajının DSS imzasını (rB, sB) doğrular
 (gizli) paylaşılan oturum anahtarını hesaplar K = mv
B mod p.
(vii) Bob
 Alice`den alır (mA, sA)
 rA = mA mod q hesaplar
 mesaj mA`nın DSS imzasını (rA, sA) doğrular
 (gizli) paylaşılan oturum anahtarını hesaplar K = mw
A mod p
Alice ve Bob tarafından hesaplanan anahtar K`nin aynısı. Yani Alice tarafından hesaplanan anahtar K =mv
B mod p
=(gw mod p)v mod p = gwv mod p. Benzer şekilde, Bob tarafından hesaplanan anahtar K = mw
A mod p = (gv mod p)w mod
p = gvw mod p. Son olarak, Varsayım 1 nedeniyle, bir düşman gözlemleyerek (gv mod p) ve (gw mod p), ne v ve w ne de
(gvw mod p).
KRIPTOANALIZ
Mesaj alışverişi

Güvenlik analizi
Bu bölümde arazinin güvenlik analizini tanıtıyoruz. Protokol, bilinen temel güvenlik işlevine odaklanır. Aşağıdaki iki
özel anahtardan birinin (xA veya xB) ele geçirilmesi durumunda, düşman, K`ye benzer şekilde önceki tüm paylaşılan
anahtarları hesaplayabilir. [4] Aşağıda gösterildiği gibi. Unutmayın, değişim mesajının imzası:
sA = v −1 [H (mA) + xArA] mod q (1)
sB = w −1[H (mB) + xBrB] mod q (2)
(1) ve (2) `den:
v = s−1
A[H (mA) + xArA] mod q (3)
w = s−1
B [H (mB) + xBrB] mod q (4)
(3) ve (4) `ü çarparak şunu elde ederiz:
vw = s-1
As-1
B [H(mA)+xArA] [H (mB) + xBrB] mod q (5)
Dolayısıyla, paylaşılan anahtar K aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
K = gvw mod p
= gs-1
A
s-1
B
[H (m
A
) + x
A
r
A
] [H (m
B
) + x
B
r
B
] mod p (6)
(6) `da bazı manipülasyonlar yaparak şunu elde ederiz:
Ks
A
s
B = g [H (m
A
) + x
A
r
A
] [H (m
B
) + x
B
r
B
] mod p (7)
KsAsB = gH(m
A
) H(m
B
) gx
A
r
A
H(mB) gH(m
A
) x
B
r
B gx
A
r
A
x
B
r
B mod p (8)
KRIPTOANALIZ
Mesaj alışverişi

Alice ve Bobùn genel anahtarları aşağıdaki gibidir:
yA = gxA mod p (9)
yB = gxB mod p (10)
Dolayısıyla, (9) ve (10) nedeniyle (8) `den şunu elde ederiz:
KsAsB = gH(mA) H (mB) yr
A
AH (m
B
) yH
B
(m
A
)r
B (gx
A
x
B)r
A
r
B mod p (11)
(11) `de, K paylaşılan anahtarının, herkesin bildiği bir miktar ve gx
A
x
B mod p miktarı ile temsil
edilebileceğini gözlemliyoruz, yani düşman onu alırsa. Oturum anahtarı K ise, gx
A
x
B mod p sayısı
hesaplanabilir. Bu nedenle düşman hepsini hesaplayabilecektir. Tüm şifrelenmiş ve önceki oturum
anahtarlarının şifresini çözmek için mA ve mB mesajları K. Bu, protokolün bilinen herhangi bir
anahtar güvenliği sağlamadığı anlamına gelir.
Son olarak, Landìn protokolü tekrarlanan saldırılara karşı savunmasızdır. Bu nedenle, örneğin
düşman mesajı engelleyebilir. İmza sA`yı mA ile çalın ve ardından Bobà dönün. Bu durumda,
Bobùn aldığı mesajın yeni mi yoksa yeni mi olduğu. [9], saldırı tekrarını azaltmak için protokoldeki
zaman damgasını kullanmak için bir yöntem önerdi.
KRIPTOANALIZ
Mesaj alışverişi

Step Alice 𝑥𝐴,𝑦𝐴 Bob 𝑥𝐵,𝑦𝐵
mA=gv
mod p
mA
2 Generater Random w∈ 𝑍𝑞
𝐾𝐴𝐵= 𝑚𝐴
𝑥𝐵
mod p
𝐾𝐵𝐴= 𝑦𝐴
𝑤
mod p
m𝐵=g𝑤
mod p
𝑠𝐵 = 𝑤−1
[𝐻 (m𝐵║ 𝐾𝐵𝐴║𝐾𝐴𝐵+
𝑥𝐵𝑟𝐵 ] mod q
m𝐵,𝑠𝐵
3 𝐾𝐴𝐵= 𝑦𝐵
𝑣
mod p
𝐾𝐵𝐴= 𝑚𝐵
𝑥𝐴
mod p
𝑟𝐴= 𝑚𝐵 mod q
Verify Signature (𝑟𝐵,𝑚𝐵) of message m𝐵
𝑟𝐴= 𝑚𝐴 mod q
𝑠𝐴 = 𝑣−1
[𝐻 (m𝐴║ 𝐾𝐴𝐵║𝐾𝐵𝐴+ 𝑥𝐴𝑟𝐴 ] mod q
𝑠A
4 𝑟𝐴= 𝑚𝐴 mod q
Verify Signature (𝑟𝐴,𝑚𝐴) of message m𝐴
Harnìn Protokolü
Bu bölümde, Harn ve ark. Tarafından önerilen üç
aşamalı DHDSA protokolünün bir varyantını tanıtıyor ve
analiz ediyoruz.
Protokol
Harn`ın anlaşması ile Land`ın anlaşması arasında bazı
benzerlikler vardır. Farklılıklar aşağıda tartışılmaktadır. Şekil
2 ayrıca basit protokolün adımlarını gösterir.
Popüler İnternet güvenliği protokollerine benzer
şekilde, Harn`ın TLS ve IPsec protokolleri, her yönde bir
anahtar olmak üzere iki farklı paylaşılan oturum anahtarıdır.
Özellikle, KAB oturum anahtarı Alice`den Bobà gönderilen
mesajı şifrelemek için kullanılır ve KBA oturum anahtarı
Bob`dan Aliceè gelen mesajı şifrelemek için kullanılır. Söz
konusu anahtar Alice tarafından (12) ve (13) aracılığıyla
oluşturulmuştur:
KRIPTOANALIZ
Harnìn Protokolü

KAB = y v
B mod p
KBA = mx
A
B mod p (12)
KAB = m x
B
A mod p
KBA = yw
A mod p (13)
(yA, xA) ve (yB, xB) `nin sırasıyla Alice ve Bob için genel ve özel anahtarlar olduğunu hatırlayın. Benzer şekilde, mA ve mB de
Alice ve Bob arasında değiş tokuş edilen mesajlar olarak tanımlanır ve Land`in protokolüne uygun olarak tanımlanır:
mA = gv mod p
mB = gw mod p (14)
(9), (10) ve (14) kullanılarak, (12) ve (13) denklemleri aşağıdaki gibi dönüştürüldü:
KAB = gxBv mod p
KBA = gxAw mod p (15)
İki oturum anahtarı kullanıldığından, sA ve sB imzaları aşağıdaki gibi tanımlanır (Arazi protokolünden farklı):
sA = v −1 [H (mA || KAB || KBA) + xArA] mod q (16)
sB = w −1 [H (mB || KBA || KAB) + xBrB] mod q (17)
nerede || bitiştirme operatörüdür.
(16) ve (17) `de, mesaj imzaları sA ve sB, sırasıyla mesaj mA ve mB olan oturum anahtarına bağlıdır. Bu nedenle, Land
protokolünün aksine, mA mesajı başlangıçta bir imza olmadan gönderilir (adım 1). Çünkü Alice bunu ilk başta bilmiyordu. KBA için
gerekli mB`yi hesaplayın. Bu nedenle, sA imzalamak 3. adıma kadar beklemelidir.
KRIPTOANALIZ
Harn`in Protokolü

Güvenlik Analizi
Bu bölümde güvenlik özelliklerini tartışıyoruz. Hahn`ın anlaşması. Özellikle, bilinen anahtar güvenlik,
yönlendirme gizliliği ve saldırı önleme özelliklerine dayalı protokol analizi sağlanmaktadır.
1) Bilinen anahtar güvenliği: Bilinen anahtar güvenlik işlevi ile ilgili olarak, seans anahtarı, KAB ve KBA
hakkında ne kadar bilgi sızdırıldığı, Alice ve Bob arasında sA ve sB`nin imzasını gözlemleyen düşmanla
paylaşılır. Bu amaçla, aşağıda KAB ve KBA arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmak için (16) ve (17) `yi
dönüştürüyoruz.
(16) ve (17) `nin her iki tarafını v ile çarparak başlayın ve sırasıyla w:
sAv = [H (mA || KAB || KBA) + xArA] mod q (18)
sBw = [H (mB || KBA || KAB) + xBrB] mod q (19)
XArA ve xBrB için sırasıyla (18) ve (19) `u çözün:
xArA = [sAv - H (mA || KAB || KBA)] mod q (20)
xBrB = [sBw - H (mB || KBA || KAB)] mod q (21)
Çarpma (20) ve (21):
xArA [sBw - H (mB || KBA || KAB)] =
xBrB [sAv - H (mA || KAB || KBA)] mod q (22)
Yukarıdaki denklem şuna eşdeğerdir:
xArAsBw + xBrBH (mA || KAB || KBA) =
[xBrBsAv + xArAH (mB || KBA || KAB)] mod q (23)
KRIPTOANALIZ
Harn`in Protokolü

G`yi (23) modulo p`nin her iki tarafının gücüne yükseltin:
gxArAsBw + xBrBH (mA || KAB || KBA) =
gxBrBsAv + xArAH (mB || KBA || KAB) mod p (24)
(9), (10) ve (15) ì (24)` e değiştirin:
(KBA) rAsB (yB) rBH (mA || KAB || KBA) =
(KAB) rBsA (yA) rAH (mB || KBA || KAB) mod p (25)
(25) `deki iki aşama arasındaki ilişkiye bakılarak düşmanın anahtarlardan birini bildiği sonucuna varılabilir. Paylaşılan anahtar, başka bir paylaşılan
anahtarın hesaplanması problemi en azından ayrık logaritmanın çözülmesiyle aynıdır.Geleneksel bilgisayarlarda etkili bir hesaplama yöntemi yoktur [6],
[12].
2) İletim gizliliği: Daha sonra, gelişmiş gizlilik hakları [7], [13] ile Harn protokolünün bir güvenlik analizini gerçekleştiriyoruz. Yönlendirme gizliliği Uzun
vadede, özel anahtar (yani xA veya xB) tehlikeye girdiğinde, rakip, oluşturulan oturum anahtarını (yani KAB ve KBA) önceden belirleyemez.
(12) ve (13) `ten hatırlayın, oturum anahtarları aşağıdaki gibi ifade edilir:
KAB = m x
A
B mod p
KBA = m x
B
A mod p (26)
Burada mA ve mB, güvenli olmayan kanallarda ve dolayısıyla düşmanlar arasında Alice ve Bob arasında değiş tokuş edilen miktarlardır. Düşmanın xA
aldığını varsayalım. Daha sonra KAB (26) ile kolayca hesaplanabilir. Benzer şekilde, xB elde edildiğinde, KBA hesaplanabilir. Bu nedenle bu yöntemler gizlilik
sağlamaz.
3) Saldırı direncini tekrarlanması: Bir tekrar saldırısında düşmanın geçerli bir mesajı yakalayıp hedef alıcıya tekrar göndereceğini unutmayın. Harn`ın
protokolü aşağıdaki nedenlerle saldırıları tekrarladı. Aliceìn Bobà imzalı bir mesaj (mA, sA) gönderdiğini hayal edin. Mesaj ve imzası sırasıyla (14) ve (16)
tarafından verilmektedir. SA`nın türetilmesinin KBA`ya ve w`ye bağlı olduğuna dikkat edin (15). Bununla birlikte, üçüncü bölümde gösterildiği gibi, w,
Bobùn özel oturum anahtarıdır. Bu nedenle Bob, alınan mesaj mA tazedir. Benzer şekilde Alice, Bobùn gönderdiği mesajın güncelliğini doğrulayabilir.
KRIPTOANALIZ
Harnìn Protokolü

Phan`in Protokolü
Bu bölümde, Phan [7] tarafından önerilen DHDSA protokolünün varyantlarını tanıtıyor ve
analiz ediyoruz. Temel protokol adımları da Tablo 3`te gösterilmektedir.
Step Alice 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 Bob 𝑥𝐵, 𝑦𝐵
mA =gv mod p
nA =𝑦𝐴
𝑣
mod p
mA, nA)
2 Generater Random w ∈ 𝑍𝑞
𝐾𝐴𝐵 = 𝑚𝐴
𝑥𝐵𝑤
mod p
𝐾𝐵𝐴 = 𝑛𝐴
𝑤
mod p
m𝐵 =g𝑤 mod p
𝑛𝐵 =𝑦𝐵
𝑤
mod p
𝑠𝐵 = 𝑤−1 [𝐻 m𝐵║ 𝐾𝐵𝐴║𝐾𝐴𝐵+ 𝑥𝐵𝑟𝐵 ] mod q
m𝐵
, 𝑛𝐵, 𝑠𝐵
3 𝐾𝐴𝐵 = 𝑛𝐵
𝑣
mod p
𝐾𝐵𝐴 = 𝑚𝐵
𝑥𝐴𝑣
mod p
𝑟𝐵 = 𝑚𝐵 mod q
Verify Signature (𝑟𝐵, 𝑚𝐵 of message m𝐵
𝑟𝐴 = 𝑚𝐴 mod q
𝑠𝐴 = 𝑣−1 [𝐻 m𝐴║ 𝐾𝐴𝐵║𝐾𝐵𝐴+ 𝑥𝐴𝑟𝐴 ] mod q
𝑠𝐴
4 𝑟𝐴 = 𝑚𝐴 mod q
Verify Signature (𝑟𝐴, 𝑚𝐴 of message m𝐴
KRIPTOANALIZ
Phan`in Protokolü

Protokol
Phan`ın anlaşması, Harn`ın anlaşmasının bir değişikliği olarak görülebilir. Anlaşma, aşağıdaki tartışma farklıdır.
Alice ve Bob, sırasıyla nA ve nB ek rasgele miktarlar üretir. Bu mesajlar mA, mB taşır ve paylaşılan bir anahtar
oluşturmak için kullanılır. özellikle:
nA = yv
A mod p
nB = yw
B mod p (27)
Alice tarafından üretilen paylaşılan anahtarlar şunlardır:
KAB = nv
B mod p = g xBvw mod p
KBA = mx
A
Bw mod p = gxAvw mod p (28)
Bob tarafından oluşturulan paylaşılan anahtar aşağıdadır:
KAB = mx
A
bw mod p = g xBvw mod p
KBA = nw
A mod p = g xAvw mod p (29)
Phan protokolünün yB`si yerine nB`yi kullanın ve (28) `i (12) ile karşılaştırın. Aşağıda gösterilen alt bölümde
bu, yB tarafından iyi bilinmektedir, ancak nB tarafından bilinmemektedir. Aynı nedenden ötürü, Bob (29) anahtarı
tarafından üretilen akım, yA yerine nA`ya bağlıdır.
KRIPTOANALIZ
Phan`in Protokolü

Güvenlik Analizi
Bilinen anahtar güvenliği ile ilgili olarak, Phan`ın protokolü Harn`ın protokolüyle aynı işleve sahiptir.
Özellikle, rakip paylaşılan oturum anahtarını (KAB gibi) biliyorsa, diğer paylaşılan oturum anahtarını (KBA)
dijital olarak çıkarmak zordur.
Aşağıda Phan protokolünün gelişmiş gizlilik özelliklerini tartışıyoruz. Uzun vadeli özel anahtar bu işlevi
tehlikeye atarsa, önceden oluşturulmuş oturum anahtarının korunması gerekir. Bu nedenle, xA`nın yok
edildiğini varsayalım. (28) ve (29) `da düşmanın KBA`sını hesaplamak için w bilinmelidir. Ancak, bölüm
III`ten Bob tarafından yapıldığını ve asla Aliceè gönderilmediğini hatırlayarak (bu yüzden yakalandı).
Lütfen düşmanın yine de müdahale edebileceğini unutmayın. mB
w, g`ye eşittir. Bununla birlikte, mB ve g`yi
bilmek w`yi hesaplamak zordur (ayrık logaritma problemi).
Benzer şekilde, xB yok edilirse, rakibin KAB`ını hesaplamak için hala v`yi bilmeniz gerekir. Ancak, v Alice
tarafından oluşturulmuşsa, asla Bobà gönderilmeyecek ve bu nedenle yakalanacaktır. Bu nedenle, Phan
protokolünün iletme gizliliğini sağlar.
Phanìn Protokolü
KRIPTOANALIZ

Ayrık Logaritma Atağı
Young ve Yung ikilisinin çalışmalarında, kleptografi alanında en çok işi yaptılar ve
burada Diffie-Hellman anahtar değişimine [9] saldırılarının basitleştirilmiş bir
versiyonunu tartışacaklar. Bu saldırı senaryosuna göre aktif kriptografik sistemin
üreticisi, ürettiği sistemin kullanıcılarından gizli bilgileri sızdırmaya çalışır. Bu işlem,
herkese açık olarak yayınlanacak bir genel anahtar oluştururken arka kapı bilgilerini
gizlemeye çalışacaktır. Bu amaçla, saldırgan ürettiği her sistem için en az 160
benzersiz kimlik değeri yerleştirdi. Mekanizma, kimlik değeri ile gizli anahtarı
birleştirerek bir karma işlevi sağlar ve böylece aşağıdaki anahtarı hesaplar.
Bu saldırıda saldırgan, Alice ile Bob arasındaki Diffie-Hellman anahtar değişim
protokolünün çıktısı olan açık anahtarı elde edebilecek. Taraflardan birine bir Truva atı
yerleştiren bir saldırgan, genel anahtarı açığa çıkarmak için yeterlidir. Bu saldırı
senaryosunda Truva atı Alice`nin cihazında bulunuyor.
KRIPTOANALIZ

Saldırı
Saldırgan, trafik kaydı 𝐴𝑖 ve 𝐵𝑖 değerlerini pasif olarak dinler ve Alice ile Bob arasındaki K2`yi elde etmek için kullanır.
1. 𝐴1 ve 𝐵2 değerini ele geçirir ve 𝐴1𝑋 𝑚𝑜𝑑 𝑝 hesaplar.
2. Saldırgan ID`yi bildiğinden 𝑎2 = (𝐼𝐷||𝑌 𝑎1 𝑚𝑜𝑑 𝑝) değerini hesaplar.
3. 𝐵2 𝑎2 𝑚𝑜𝑑 𝑝 hesaplayarak 𝐾2 ortak anahtarını elde eder.
Not: Bu saldırı yöntemine (𝑡, 𝑡 + 1) -thief saldırısı adı verilir, bu da anahtarın 𝑡 + 1 genel anahtardan çıkarılabileceği
anlamına gelir.
KRIPTOANALIZ
Atak mekanizması:
(p ve q asal sayıları (p = 2q + 1); ∗ bir üretici ve sırası 𝑞; 𝐻: {0,1} ∗ → 𝑍𝑞; 𝑌 = 𝑝 mod p saldırganın genel anahtarı ve
𝑋 anahtarı; 𝐴𝑖 = 𝑔 ai mod p Alice`nin açık ve gizli anahtarları ; 𝑌 Alice`nin cihazında bulunur.)
1. Alice rasgele 𝑎1 ∈ Zq seçip 𝐴1 = 𝑔𝑎1 of değerini hesaplayarak Bob`ya gönderir. Bob rastgele 𝑎1 ∈ Zq seçer ve
ardından 𝐵1 = 𝑔1 𝑚𝑜𝑑 p değerini hesaplayarak Alice`ye gönderir.
2. Alice ve Bob, K1 = 𝑎1𝑏1𝑏 mod p işlevinin açık anahtarını hesaplar. Alice, 𝑎1 değerini bir sonraki anahtar
değişikliğine kadar saklayacaktır.
3. Alice bir sonraki anahtar değişikliğini hesapladığında 𝑎2 = 𝑎2 𝑚𝑜𝑑 p değerini hesaplamak için a2 = 𝐻 (𝐼𝐷 || 𝑎1
𝑚𝑜𝑑 p) hesaplanarak Bob`ya gönderilir. Bob 𝑏2∈𝑍𝑞 rastgele seçim, 𝐵2 = 𝑔
𝑏2 𝑚𝑜𝑑 𝑝 değerini hesaplar ve Alice`ye gönderir.
4. Alice ve Bob 𝐾2 = 𝑔 𝑎2𝑏2 𝑚𝑜𝑑 𝑝 ortak anahtarını hesaplar.

Diffie-Hellman (Ortadaki Adam)
Diffie-Hellman, anahtar değişimi için kullanılır. Bob ve Alice iki değer (g ve p) üzerinde hemfikirdir,
burada p asal sayıdır. Sonra Bob ve Alice rastgele iki sayı (a ve b) üretir ve değerleri değiştirir. Maalesef
ortadaki kişi saldırıya açık ve Eve iki anahtar ürettiğinde biri Bobà, diğeri Aliceè verilecek:
g: 15 (a shared value), n: 1009 (a prime number)
Eve`s value: 7
== Random value generation ===
Alice calculates:
a (Alice random): 5
Alice value (A): 607 (gâ) mod p
Bob calculates:
b (Bob random): 9
Bob value (B): 280 (g^b) mod p
==Alice sends value to Eve ===
Eve takes Alice`s value and calculates: 968
Bob gets Eve`s value and calculates key of: 206
==Bob sends value to Eve ===
Eve takes Bob`s value and calculates: 540
Alice gets Eve`s value and calculates key of: 540
KRIPTOANALIZ

Method
Bu durumda, Eve hangi değeri alırsa alsın, Bob ve Alice`in
rastgele sayılarına göre bir değer döndürecektir.
Örneğin, g = 15 ve p = 1011 ve Alice rastgele bir 5 değeri
kullanıyorsa, Alice anahtar için aşağıdakileri hesaplayacaktır:
A=155 mod 1011 = 114
Bob rastgele 9 değerini alırsa, Bob şunları hesaplayacaktır:
B=159 mod 1011 = 462
Eve tünelde Alice`in değerini değiştirerek şunu verir:
1147 mod 1011 = 402
Alice, 402 değerini alır. Şunların anahtarını hesaplar:
KeyAlice = 4025 mod 1011 = 636
Bob 426 değerini alır ve şunun anahtarını hesaplar:
KeyBob = 4629 mod 1011 = 483
Bu elbette yanlış çünkü Diffie-Hellman yöntemi de aynı
değeri sağlamalıdır. Ancak, Eve aracıdır, bu nedenle temelde
mesajın şifresini çözebilen ve yeniden şifreleyen iki anahtarı
vardır
KRIPTOANALIZ

DF için aşağıda örnek kod yer almaktadır:
import random
import base64
import hashlib
import sys
g=15
p=1011
a= 5
b = 9
eve = 7
message=21
A=(g**a) % p
B=(g**b) % p
Eve1 = (A**eve) % p
Eve2 = (B**eve) % p
Key1= (Eve1**a) % p
Key2= (Eve2**b) % p
KRIPTOANALIZ
print(`g: `,g,` (a shared value), n: `,p, ` (a prime number)`)
print(`n== Random value generation ===`)
print(`nAlice calculates:`)
print(à (Alice random): `,a)
print(Àlice value (A): `,A,` (gâ) mod p`)
print(`nBob calculates:`)
print(`b (Bob random): `,b)
print(`Bob value (B): `,B,` (g^b) mod p`)
print(`n==Alice sends value to Eve ===`)
print(Ève takes Alice`s value and calculates: `,Eve1)
print(Àlice gets Eve`s value and calculates key of: `,Key1)
print(`n==Bob sends value to Eve ===`)
print(Ève takes Bob`s value and calculates: `,Eve2)
print(`Bob gets Eve`s value and calculates key of: `,Key2)

Sonuç
Bu makalede üç güvenlik analizi anlatılmıştır. Entegre DH-DSA protokolünün türü.
Özellikle, gelişmiş gizlilik, bilinen temel güvenlik ve tekrar saldırı direnci işlevlerine
odaklanıyoruz. Land`in anlaşması ileri gizlilik sağlamaz ve tekrar saldırılara karşı
savunmasızdır. Bunun nedeni, oluşturulan oturum anahtarlarının birbirinden bağımsız
olmasıdır. Bu nedenle, düşman ödün verirse, bir oturum anahtarı herkese açık olarak değiş
tokuş edilen mesajlara dayanır, böylece diğer oturum anahtarları kolayca tanımlanabilir.
Harn`ın protokolü bilinen temel güvenlik ve tekrar saldırılara karşı direnç sağlar.
Yüksek düzeyde mahremiyet yoktur. Son olarak, Phan`ın protokolü yukarıda
bahsedilen üç güvenlik özelliğine de sahiptir. Gelecekteki araştırmalarda, anahtar
güncelleme, tehditler (bilinmeyen anahtar paylaşım saldırıları gibi) gibi diğer güvenlik
işlevlerini göz önünde bulundurarak DH-DSA protokolünü ve türevlerini incelemeyi
planlanmaktadır.
KRIPTOANALIZ

Diffie-Hellman Key Exchange

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Diffie-Hellman Key Exchange (20)

Recently uploaded (20)

Diffie-Hellman Key Exchange