Introduction to NumPy & SciPy

Contents

NumPy & Scipy の機能紹介
→ ndarrayクラスの操作を中心に説明
NumPy & SciPy を使ったプログラミング
→ 線形回帰、主成分分析, K-Means
→ Pythonの特徴であるOOPも取り入れる

ndarrayのviewと参照渡し

What is NumPy/SciPy?
Pythonで数値計算

数値計算 ≒ 繰り返し作業、ループ
Pyhton : ループが遅い、その他諸々は書きやすい。
C,Fortran : ループが速い、冗長な表現が多い。

ループのある作業をC,Fortranで書き、
それをpythonから呼べたら便利!

What is NumPy/SciPy?

NumPy
● Cで実装されたndarray class
● Universal Function
● 乱数の生成
● f2pyによるFortranとの連携

SciPy
● NumPyを元に様々な数値計算の関数の集合
● BLAS/LAPACKを使った行列計算
● FFT,クラスタリング、関数最適化などなど

What is NumPy & SciPy?
numpy.ndarray class
数値計算用のN次元配列

Homogeneous N-dimensional Array
各要素の型がすべて同じ → CやFortranの配列

強力なインデクシング表現
A[0:10, 3] etc

Universal functionによる直感的な数式の表現
y[:] = 3.0 * np.sin(x[:]) + x[:]**2 + e[0,:] etc

ndarray class

ndarrayの生成

✔np.array : listなどをndarrayに変換
✔np.empty : 任意のサイズを確保,Cのmalloc相当
✔np.zeros : 0で初期化,Cのcalloc相当
✔np.ones : 1で初期化
✔np.identity : 単位行列 etc

ndarray class

ndarrayの属性

✔dtype : 各要素の型, float64 etc
✔ndim : 配列の次元
✔shape : 各次元の要素数のtuple
✔size : 1次元にした時の長さ
✔data : 実際のデータがbuffer objectとして保持されている。

ndarray class
要素の参照、代入

✔個々の参照 : x[2], x[-1], A[1, 2], B[3, 2, 5]
✔スライスによる一括参照 : x[from:to:step]
e.g. 　x[2:6], x[::-1], A[1, :], A[::2, :6
✔1つの要素へ代入 : x[4] = 10.0
✔スライスを使った代入 : x[1:5] = 3.0, A[0, 1:7] = x[0:6]

ndarray class
Universal Functions

配列のすべての要素に対して同じ操作を施す。 (elementwise operation)
基本的にFortran90の配列演算と同じ。
✔b[:] = 2.0 * a[:] + 1.0
✔B[:,:] = np.exp(A[:,:])
✔C[:,1:10] = B[:,3:12] + np.sin(B[:,:9])
✔D = C[:,1:10] * C[:,1:10] ← 行列積ではないので注意!

ndarray class
Broadcast : 配列形状の自動調整

EuroScipy 2010, Python Scientific Notes より引用

ndarray class
Broadcastをうまく使うためのコツ
np.newaxisを使って配列の次元を揃える
✔A[10,3] に x[3] を足す → A[:,:] + x[np.newaxis,:]

for i in xrange(3):
A[:,i] += x[i]

相当の計算になる。(もちろんこれより速い。)

✔B[100,4,10] に y[4] を掛る
→ B[:,:,:] * y[np.newaxis,:,np.newaxis]

for i in xrange(4):
B[:,i,:] *= y[i]

ndarray class
Fancy Indexing
✔ixs = [0,2,2,4], x[ixs] → array(x[0],x[2],x[2],x[4])
✔np.where(x[:]>1) → 1より大きいxのインデックスの配列
✔np.where(x[:]>0,x,10) → xの0以上の要素をすべて10にする
✔mask = A[:,:] > 0
→ maskはbool型でAと同じshapeをもつndarray
→ A[mask]は0以上のAの要素が入った1D-ndarray
✔mask = np.sum(A[:,:]**2,1) < 0, inner_sphere = A[mask,:]
→ 球の内側のデータ

ndarray class
io関係
✔np.savetxt : ファイルにndarrayを書き込む
np.savetxt(“data.log”,data)
✔np.loadtx : ファイルからndarrayに読み込む
data = np.loadtxt(“data.log”)
✔PythonのbuiltinのPickleも使える
大きいデータをバイナリで保存する際に便利

NumPyと乱数
numpy.random
✔Mersenne Twisterによる乱数生成
✔rand : [0,1)上の一様乱数
r = rand(100,3) → 一度に生成して配列に格納
✔randn : 標準正規乱数、randと同様に配列に格納もできる
✔dirichlet, normal, t, beta, poissson 他多数
shapeを引数にとって配列に格納もできる。
rand,randnとは書式が多少違うので注意!

NumPyの統計関数

✔np.max, np.min : 最大最小
✔np.argmax, np.argmin : 最大最小の位置
✔np.mean, np.var, np.std : 平均、分散、標準偏差
✔np.sort, np.argsort : 配列のソートとそのインデックス
これらは任意次元のndarrayとaxisを引数にとって任意の
軸に対して実行可

✔np.cov : 共分散,データは2D-ndarrayのみ
shapeは(ndim,nobs)の順なので注意!

NumPy/SciPyで行列計算
np.dot (BLASのラッパー)
np.dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])
例 x,y 1D-array, A,B 2D-array
● dot(x,y) → スカラ, BLASの***dot相当
● dot(A,x) → ベクター, BLASの***mv相当
● dot(A,B) → 行列, BLASの***mm相当(dgemmとか)

その他、 outer, tensordotとかもある

NumPy/SciPyで行列計算
scipy.linalg (LAPACKのラッパー)
● det : 行列式
● inv, pinv : 逆行列、擬似逆行列
● solve, lstsq : 連立方程式の解、最小自乗解
Ax = b → x = solve(A,b)
● eig, eigh, svd : (一般化)固有値分解、
特異値分解 (***ev,***gv,***svd)
eig_val, eig_vec = eigh(A)
● 行列の因子分解
lu, qr, cholesky etc

特殊関数
scipy.special
●ほとんどがUniversal Functionなのでndarrayを食わせると
一気に計算してくれる。
● gamma関数群 (分布関係でよく使う)
gamma, gammaln, digamma
● ベッセル関数、楕円関数など諸々 (あまりつかったことない...)

その他諸々
● scipy.spatial : KD-treeとか距離計算とか
● scipy.sparse : 疎行列とその線形代数
● scipy.cluster : 階層/非階層クラスタリング
● scipy.fftpack : Fourier変換
● scipy.interpolate : スプライン補完とか
● scipy.optimize : 関数最適化、非線形フィッティングとか
● scipy.constants : 科学定数集

Matplotlib
とにもかくにも import matplotlib.pyplot as plt

● plot(x, y ,[symb, label, linewidth]) : xとyをsymbでプロット
● legend : labelを表示
● xlabel, xlim, xtics : 軸の表示設定、yも同様
● show : 画面にプロットの結果を表示
● savefig : 画像ファイルにプロットを保存 (png, eps, svg, pdf)

便利なPythonのパッケージ
scikits.learn : NumPy&SciPyを使った機械学習のライブラリ
●

PyMC : MCMCによるベイズ推定
●

Networkx : グラフアルゴリズム
●

OpenOpt : 関数最適化 (Pythonインターフェイスあり)
●

OpenCV : 画像処理 (Pythonインターフェイスあり)
●

NLTK : 自然言語処理
●

pyMPI, PyCUDA : MPI, CUDAへのインターフェース
●

Biopython, PyMol, MODELLER : バイオインフォマティクス
●

pygresql, mysqldb, pysqlite2 : SQLへのインターフェイス
●

Universal Feed Parser : RSS, ATOMのパーサー
●

PyPI <http://pypi.python.org/pypi> で欲しいパッケージを検索できる。

NumPy & SciPy
を用いたプログラミング

大原則
●極力ループにPythonのforではなく、NumPy対応する
関数を使う。(特にデータ数に対するループは厳禁!)
● 大抵の操作はあるのでよく探すこと!
●ホットスポットの検出にはPythonのプロファイラが便
利。
● それでもやっぱり遅いよ! → f2py, Cythonなどを検討

NumPy & SciPy
Principal Component Analysis

解き方共分散行列の固有値分解 or データ行列の特異値分解

実装方 (共分散行列版)
1.np.covを使って共分散行列を計算
2.scipy.linalg.eighを使って固有値分解
3.np.dotを使って射影

詳細はソースコード(pca.py)を用いて説明

NumPy & SciPy
Least Square Fit

or

解き方
pseudo-inverse
実装方
a) scipy.linalg.svdをコール ← 一番低レベル
b) scipy.linalg.pinvをコール
c) scipy.linalg.lstsqをコール

詳細はソースコード(regression.py)のを用いて説明

NumPy & SciPy
K-Means (理論)

E-Step
●

M-Step
●

NumPy & SciPy
K-Means (実装)

E- step
●

各サンプルに対してlnPの計算 (二次形式、Mahalanobis距離)
→ scipy.spatial.distance.cdist
各サンプルに対してlnP最大のクラスタ番号を選ぶ
→ np.argmax
●M-step
c_n = c のサンプルの選択 → ndarrayのfancy indexing機能
平均、共分散の計算 → np.mean, np.cov

詳細はソースコード(kmeans.py)のを用いて説明

ndarrayと view

[1] A = array([[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]])
[2] B = A[0]
[3] B[0] = 10

A[0,0]の値は?

ndarrayと view

view : 同じメモリ領域を異なるndarrayオブジェクトで共有する機能
メモリを共有しているの配列の要素を変更すると、他の配列の対応
する値も変更される。知らないとかなりハマる。 (体験談)
viewを返す表現、関数
A.view()
A[from:to] (スライス)
A.T, np.transpose(A) (転置)
A.reshape(shape), np.reshape(A,shape) (次元変換)
A.swapaxes(a,b), np.swapaxes(A,a,b) (軸の交換)
np.tile(A,(a,b,...)) (同じ配列を並べる。a,b.. = 1の時はもとのAとメモリを共有!)

A.baseで参照元の配列の内容を見れる。

ndarrayと view
同じメモリ領域を共有しているかを調べる方法
A.__array_interface__[“data”][0]
がメモリの領域を指しているのでこれを比較する

例
def isMemoryShared(a,b):
mem_a = a.__array_interface__[“data”][0]
mem_b = b.__array_interface__[“data”][0]
return mem_a == mem_b

メモリを共有したくないときはnp.copyを使う
B = np.copy(A[1:3,:])

a = a + 1, a += 1
●a=a+1
実は一度コピーを作成するので初めと終わりの”a”は
メモリ上では全くの別物。
● a += 1
aのメモリ上のデータを直接変更している。
(In-place Operation)
●np.exp(a,out=a)
universal functionでoutを指定するとin-placeで計算

a.__array_interface__[“data”][0]で確認してみる。

値渡しと参照渡し
C言語では値渡しと参照渡しを使い分けられる。

値渡し (call by value) 参照渡し (call by reference)

void f1(int x){ void f2(int *x){
x = x + 1; *x = *x + 1;
} }

→ f1の外ではxの値は元のまま。 → f2の外でもxの値は1増える。


Pythonでは基本は値渡し! だけど...

例外
●リストの要素を変更

●インスタンスのメンバーを変更

●ndarrayの要素を変更

●ndarrayをin-place operationで変更


def npf1(x):
# これはx自身が更新される
x[0] = 1

def npf2(x): def npf3(x):
# xは不変 # xは更新される
x=x+1 x += 1

x.__array_interface__で確認! → mutate.py

まとめ

● NumPyのndarrayクラスの特徴であるindexingとunivesal functio
よって数式を直感的にコードに変換できる。
● ScipyをはじめとしたNumPyを使ったパッケージや他のPythonパッ
ケージをうまく利用するといろいろできそう。
● Pythonの特徴であるOOPとNumPyの高速な数値計算がうまく融
合してかなり効率的なプログラミングが可能。
● ndarrayのviewの仕組みは知っておかないと意外とハマリやすい...

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