統計勉強会 分割表とカイ二乗検定
- 2. ここでの目的 • 連続値ではない観測値について、有意な差がある のかどうかを調べたい。 – 順序尺度：満足度1～5、優・良・可・不可、など – 名義尺度：男・女、発生した・しなかった、など • 理論値と（有意な）差があるか？ • 二つ（以上）の集団で（有意な）差があるか？
- 3. 検定の方法3つ • 適合度検定 – 標本から求められる度数分布と、理論的な分布が同一かどうかを検 定する • 独立性の検定 – 観測結果が二つの異なった要因で分類できる状況で、異なる要因が 互いに独立である（＝相手の影響を受けていない）かどうかを調べる。 – 「原因と結果」になりそうなものの関係性。 • 同等性の検定 – 独立性の検定と形式的には同等。 – 帰無仮説と対立仮説の立て方が逆になる。 – 「差があるとは言えない」ではなく、「同じである」ことを検定。
- 4. 【復習】 分布とは • 【復習】 統計量の計算方法 – = + + ⋯ + = ( − ) + ( − ) + ⋯ + ( − ) = ∑ ( − )
- 5. 統計量 • 統計量の計算方法 – = + + ⋯ + = ∑ ( ) • : 観測された頻度 • : 仮説のもとで期待される頻度 • 自由度 : 分割数 − 1
- 6. ①適合度検定 • ある事象の理論的確率（古典的確率）を基準に、経験的確率 （統計的確率）の「バラつき」を算出する。 • 算出したバラつきについて、有意な大きさかどうか（＝偶然で はないと言えるか）を検定する。 • サイコロの例： – サイコロの目が平等に出ていない、ということを検定したい場合 – 帰無仮説 ：すべての目が平等に出る – 対立仮説 ：目が不平等に出る – バラつきの総和（ 統計量）を計算し、臨界値を超えていれば、「有 意なレベルで出る目が平等ではない」と言える。（＝帰無仮説を棄却）
- 7. 適合度検定：サイコロの例 • 300回サイコロを投げた場合の例 統計量 = 9.52 有意水準1%、自由度5の臨界値 = 15.09 < なので、 は棄却できない。 →出目が不平等とは言えない。 1 2 3 4 5 6 58 43 61 38 57 43 50 50 50 50 50 50 ( − ) 64 49 121 144 49 49 ( − ) / 1.28 0.98 2.42 2.88 0.98 0.98
- 8. ②独立性の検定 • 別々の要素が互いに影響を及ぼしているかどうかを調べる。 • 理論的な確率（同時確率）が、観測値とどれくらい離れているかを検定。 • 歴史と統計の成績の例 – 帰無仮説 ：歴史と統計の成績は独立である（関係ない） – 対立仮説 ：歴史と統計の成績は独立ではない（互いの影響を受けている） • 周辺確率 – 個別の事象が発生する確率 • 例：Ｐ（歴史の成績が良） • 同時確率 – 二つ以上の事象が同時に発生する確率 • 例：Ｐ（歴史の成績が良 | 統計の成績が優） – 周辺確率の積として求められる
- 9. 独立性の検定：周辺確率の算出 • 観測値 を記入する • 周辺確率を求める（標本サイズ117を1.00とする） 歴史＼統計 優 良 計 優 24 41 65 良 14 38 52 計 38 79 117 歴史＼統計 優 良 計 優 0.56 良 0.44 計 0.32 0.68 1.00
- 10. 独立性の検定：理論値の算出 • 同時確率（理論値 の確率）を求める • 理論値 （頻度）を求める（標本サイズ117を掛ける） 歴史＼統計 優 良 計 優 0.18 0.38 0.56 良 0.14 0.30 0.44 計 0.32 0.68 1.00 歴史＼統計 優 良 計 優 21.1 43.9 65 良 16.9 35.1 52 計 38 79 117
- 11. 独立性の検定：観測値と理論値 • 観測値 （頻度＝人数） • 理論値 （頻度＝人数） 歴史＼統計 優 良 計 優 24 41 65 良 14 38 52 計 38 79 117 歴史＼統計 優 良 計 優 21.1 43.9 65 良 16.9 35.1 52 計 38 79 117
- 12. 独立性の検定： 検定 • すべての要素を並べて、観測値と理論値との偏差を計算、 総和をカイ二乗検定する 自由度 = 分割数 − 1 (分割数 − 1) 統計量 = 1.33 有意水準10%、自由度1の臨界値 = 2.7 < なので、 （成績は独立である）は棄却できない。 →成績が独立でない（＝関係している）とは言えない。 歴史＼統計 優・優 優・良 良・優 良・良 24 41 14 38 21.1 43.9 16.9 35.1 ( − ) / 0.40 0.19 0.50 0.24
- 13. その他のキーワード • フィッシャーの直接確率検定（正確確率検定） – 2 x 2分割表（自由度1、2変数）の場合 – 標本数が小さい（分割表のセルの期待値に10未満のものがある）場 合 – 表中の数値の偏りが大きい場合にはカイ二乗近似は不正確。この場 合には正確確率検定 – 標本数が大きい場合や、数値の偏りが小さい場合（差がなさそうに見 える場合）にはカイ二乗検定 • イェーツの連続性の補正 – 同時確率と観測確率の差を小さくするように、0.5ずつ補正する – 原則として2×2分割表ではYatesの連続補正を使う（？）
- 14. ③同等性の検定 • 積極的に「同じである」ことを検定したい場合に用いる – 「違いがあるとは言えない」ではなく • 仮説の設定 – 帰無仮説 ：母集団Aと母集団Bは同じである – 対立仮説 ：母集団Aと母集団Bは異なっている
- 15. いろいろ除外してみた • 各年齢層を除外して同等性の検定を行う – ：各年齢層で所得と労働時間の考え方は同一 – ：各年齢層で考え方が異なる – ：23.21 除外対象 ～19歳 ～29歳 ～39歳 ～49歳 ～59歳 ～69歳 70歳～ 統計量 19.28 25.22 24.10 23.20 25.85 21.74 24.54 臨界値 < < < < < < < を棄却 × ○ ○ × ○ × ○ 年齢層で 異なる 異なる 異なる 異なる
- 16. 例題：A/Bスプリットテスト あるWebサービスのユーザ登録用のランディングページを改良し、 A/Bスプリットテストを実施した。 ＜問１＞ • 以前のデザインのページ – 10,450アクセス、ユーザ登録167件、コンバージョンレート1.60% • 新しいデザインのページ – 8,445アクセス、ユーザ登録153件、コンバージョンレート1.81% コンバージョンレートを考えた時、新デザインのページに有意な改善 があったと言えるか。有意水準5%で検定せよ。 ＜問２＞ サンプルサイズが10倍になったらどうか。アクセス数10倍、ユーザ 登録数10倍、有意水準1%として再度検定せよ。